Questions
Sostituisci x=1 nell’equazione per trovare il valore di k^3-8k.
Ora puoi applicare la formula per le radici di un polinomio di secondo grado,
oppure dividere il polinomio per (x-1),
e trovi l’altra soluzione.
^_^
@Simpli..: Anche se quel coefficiente non può esistere, come si è giustamente chiesto KarKarlo?
Trovo più utile ricondursi ad una forma nota giustificando i passaggi…
@Simpli…: Quindi se ti chiedo di dimostrare che √2 è razionale, tu supponi che lo sia perché lo afferma il problema?
Ah, certo. Allora: “x^2+x+1=0 ha una soluzione razionale x=√2; qual è l’altra?” Adesso è tutto nelle ipotesi…
Ovvero hai dovuto controllare che il problema fosse coerente con le “regole dell’algebra ordinaria”… =)
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3x^2 + (k^3-8k)x- 6 = 0, ha per soluzione x = 1
quindi se sostituisci x = 1 sopra ti risulta zero:
3 + (k^3-8k) – 6 = 0
e da qui ricavi i valori del parametro k, da questa equazione di terzo grado:
k^3 – 8k – 3 = 0
questa equazione di terzo grado si può risolvere, anche senza conoscere la formula delle equazioni di terzo grado, un po’ per tentativi utilizzando il principio di identità dei polinomi (criterio di Eisenstein), cioè provando a sostituire all’attuale incognita (in questo caso k) uno dei divisori interi del termine noto, che qui è – 3 : proviamo quindi a sostituire a questo ultimo i valori 1 , – 1- , 3 , – 3 .
k = 1 : 1 – 8 – 3 = – 10 NO
k = – 1 : – 1 + 8 – 3 = – 4 NO
k = 3 : 27 – 24 – 3 = 0 BINGO !
Quindi per k = 3 c’è la soluzione x = 1 . Da quel che appare il parametro k quindi non è libero (non avendo visto il testo originale del tuo problema, è questo che si evince).
Con quanto ricavato [ k = 3], l’equazione diventa:
3x^2 + 3x – 6 = 0 che ha per soluzione x = 1 .
per il teorema di Ruffini quindi si può scomporre il polinomio:
3x^2 + 3x – 6 = ( x – 1) (polinomio di secondo grado) = ( x – 1) (3x + 6)
da cui si ricava che dev’essere anche 3x + 6 = 0 quindi x = – 2 .
e il polinomio di secondo grado si può ricavare o con la regola di Ruffini, o con la divisione fra polinomi.
Quindi tanto valeva fare subito la divisione fra polinomi, partendo dal polinomio originario con il parametro k indeterminato :
3x^2 + ( k^3 – 8k)x – 6 = ( x – 1) (altro polinomio di secondo grado)
= ( x – 1) (3x – ( k^3 – 8k + 3) )
da cui si ricava che l’altra soluzione è x = ( k^3 – 8k + 3)/3
sempre che k^3 – 8k – 3 sia uguale a zero, quindi la condizione che avevamo trovato prima.
Una possibilità è per k = 3, se ce ne sono altre si trova con lo stesso metodo.